Задания ЕГЭ по математике: Объем многогранника
Дана пирамида \(ABCD\) с прямоугольным треугольником \(ABC\) в основании. Вокруг пирамиды описан конус.
а) Докажите, что вершина конуса проецируется в середину одной из сторон треугольника основания.
б) Известно, что объем конуса равен \(V_k=392\pi\), а треугольник в основании является равнобедренным. Найдите объем пирамиды.
В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) сторона основания \(AD\) равна 12, а боковое ребро \(SA\) равно 8. Точки \(M\) и \(N\) – середины рёбер \(SA\) и \(SB\) соответственно. Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(MN\) и перпендикулярно плоскости основания пирамиды.
a) Докажите, что плоскость делит медиану \(CE\) основания в отношении 5 : 1, считая от точки \(C\).
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка \(C\), а основанием – сечение пирамиды \(SABC\) плоскостью \(\alpha\).
Основанием прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) является прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\). Диагонали граней \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\) равны 10 и 6 соответственно, \(AB=\sqrt{91}\).
а) Докажите, что треугольник \(A_1C_1B\) прямоугольный.
б) Найдите объем пирамиды \(AA_1C_1B\).
Ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно 6. Точки \(K,L\) и \(M\) – центры граней \(ABCD,AA_1D_1D\) и \(CC_1D_1D\)соответственно.
а) Докажите, что \(B_1KLM\) – правильная пирамида.
б) Найдите объём \(B_1KLM\).
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб с ребром, равным 5. На ребре \(BB_1\) отмечена точка \(K\), причем \(KB=3.\)Плоскость \(\alpha\) такая, что \(K,C_1\in\alpha, BD_1\parallel \alpha, A_1B_1\cap \alpha =P\).
а) Докажите, что \(A_1P:PB_1=1:2\).
б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью \(\alpha\).
\(ABC\) – прямоугольный треугольник с прямым углом \(C\) является основанием прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\). Известно, что диагонали боковых граней \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\) равны соответственно \(26\) и \(10\), \(AB=25\).
а) Докажите, что \(\Delta BA_1C_1\) – прямоугольный.
б) Найдите объем пирамиды \(AA_1C_1B\).
\(PABC\) – треугольная пирамида такая, что высота, опущенная из точки \(P\), падает в точку \(C\). Также известно, что \(PA\perp BC\).
а) Докажите, что треугольник \(ABC\) прямоугольный.
б) \(PB=15, AB=13, \cos\angle PBA = \frac{48}{65}\). Найдите объем пирамиды \(PABC\).
