Задания ЕГЭ по математике

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора \(C=5\cdot10^{-6}\) Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением \(R=3\cdot10^6\) Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе \(U_0=32\) кВ. После выключения телевизора напряжение убывает до значения \(U\) за время, определяемое выражением \(t=\alpha RC\log_2\frac{U_0}{U}\), где \(\alpha=1,5\). Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло \(90\) секунд.

Водолазный колокол, содержащий \(\nu=3\) моль воздуха объёмом \(V_1=80\) л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма \(V_2\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле \(A=\alpha\nu T\log_2\frac{V_1}{V_2}\), где \(\alpha=5,8\) Дж/(моль·К), \(T=300\) К. Найдите, какой объём \(V_2\) будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии была совершена работа \(20880\) Дж.

Водолазный колокол, содержащий \(\nu=4\) моль воздуха при давлении \(p_1=10\) атмосфер, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(p_2\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле \(A=\alpha\nu T\log_2\frac{p_2}{p_1}\), где \(\alpha=6,4\) Дж/(моль·К), \(T=300\) К. Найдите давление \(p_2\), если при сжатии воздуха была совершена работа \(7680\) Дж.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса \(m\) уменьшается по закону \(m=m_0\cdot2^{-\frac{\tau}{T}}\), где \(m_0\) — начальная масса изотопа, \(\tau\) — время, прошедшее от начального момента, \(T\) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа равна \(100\) мг. Период его полураспада составляет \(2\) минуты. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна \(12,5\) мг.

Примечание: \({-\frac{\tau}{T}}\) — степень двойки.

Два тела массой \(m=9\) кг каждое движутся с одинаковой скоростью \(v=6\) м/с под углом \(2\alpha\) друг к другу. Энергия, выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле \(Q=mv^2\sin^2\alpha\). Найдите, под каким углом \(2\alpha\) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия \(81\) Дж.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон \(pV^k=c\), где \(p\) — давление газа, \(V\) — объём газа, \(k=\frac43\), \(c=4,8\cdot10^6\) — постоянные. Найдите, какой объём \(V\) будет занимать газ при давлении \(p=3\cdot10^5\) Па.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана \(P=\sigma ST^4\), где \(P\) — мощность излучения звезды, \(\sigma=5,7\cdot10^{-8}\) — постоянная, \(S\) — площадь поверхности звезды, \(T\) — температура в кельвинах. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \(\frac1{256}\cdot10^{21}\) м², а мощность её излучения равна \(9,12\cdot10^{26}\) Вт. Найдите температуру этой звезды.

Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте \(h\) километров над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле \(l=\sqrt{2Rh}\), где \(R=6400\) км — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии \(24\) километров?

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a=2500\) км/ч². Скорость \(v\) вычисляется по формуле \(v=\sqrt{2la}\), где \(l\) — пройденный автомобилем путь в километрах. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости \(50\) км/ч.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a\) км/ч². Скорость \(v\) вычисляется по формуле \(v=\sqrt{2la}\), где \(l\) — пройденный автомобилем путь в километрах. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав \(0,5\) км, приобрести скорость \(70\) км/ч.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется по закону \(\varphi=\omega t+\frac{\beta t^2}{2}\), где \(t\) — время в минутах, \(\omega=40\) град/мин — начальная угловая скорость, \(\beta=4\) град/мин² — угловое ускорение. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если угол намотки достиг \(600^\circ\).

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \(v_0=24\) км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением \(a=10\) км/ч². Расстояние до города вычисляется по формуле \(s=v_0t+\frac{at^2}{2}\), где \(t\) — время в часах. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если за это время он удалился от города на \(5\) км. Ответ дайте в минутах.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия высота столба воды меняется по закону \(H=H_0+bt+at^2\), где \(H_0=\frac58\) м, \(a=\frac1{30}\) м/мин², \(b=-\frac13\) м/мин, \(t\) — время в минутах. Сколько минут вода будет вытекать из бака?

Автомобиль, движущийся со скоростью \(v_0=24\) м/с, начал торможение с постоянным ускорением \(a=3\) м/с². За \(t\) секунд после начала торможения он прошёл путь \(s=v_0t-\frac{at^2}{2}\). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если за это время автомобиль проехал \(90\) метров.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием \(f=36\) см. Расстояние \(d_1\) от линзы до лампочки может изменяться от \(30\) до \(50\) см, а расстояние \(d_2\) от линзы до экрана — от \(160\) до \(180\) см. Изображение будет чётким, если выполнено соотношение \(\frac1{d_1}+\frac1{d_2}=\frac1f\). На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку?