Задания ЕГЭ по математике: Задачи, сводящиеся к решению уравнений или вычислениям

На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. Введём систему координат: ось \(Oy\) направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось \(Ox\) направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, задаётся формулой \(y = 0{,}005x^2 - 0{,}74x + 25\), где \(x\) и \(y\) измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 30 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полета камня описывается формулой \(y = ax^2 + bx\), где \(a = -\frac{1}{100}\) м\(^{-1}\), \(b = 1\) — постоянные параметры, \(x\) — смещение камня по горизонтали (в метрах), \(y\) — высота камня над землей (в метрах). На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 7 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее двух метров?

При температуре 0°C рельс имеет длину \(l_0 = 10\) м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону \(l(t^{\circ}) = l_0(1 + \alpha \cdot t^{\circ})\), где \(\alpha = 1,2 \cdot 10^{-5} (^{\circ}\text{C})^{-1}\) — коэффициент теплового расширения, \(t^{\circ}\) — температура в градусах Цельсия. При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время \(t\) падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле \(h = 5t^2\), где \(h\) — расстояние в метрах, \(t\) — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,8 с. На сколько метров должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,4 с? Ответ выразите в метрах.

Капиллярное поднятие жидкости возникает благодаря силам поверхностного натяжения. Если жидкость смачивает стенки узкой трубки (капилляра), она поднимается на некоторую высоту. Высота поднятия жидкости (в метрах) в капиллярной трубке вычисляется по формуле: \[h = \frac{2\sigma \cos \theta}{r_0(\rho - \rho_0)g},\]
где \(\sigma = 0{,}06\) Н/м — коэффициент поверхностного натяжения, \(\rho = 1020\) кг/м\(^3\) — плотность жидкости, \(\rho_0 = 20\) кг/м\(^3\) — плотность окружающей среды, \(g = 10\) м/с\(^2\) ускорение свободного падения, \(r_0\) — радиус капилляра (в метрах), \(\theta\) — краевой угол (в градусах), характеризующий смачивание. Найдите радиус капилляра \(r_0\), если высота поднятия жидкости в нём равна 0,004 м при краевом угле \(60^\circ\). Ответ дайте в метрах.

Для приготовления сплава из двух металлов с плотностями \(\rho_1 = 2\) кг/л и \(\rho_2 = 3\) кг/л используют массы \(m_1\) и \(m_2\) металлов соответственно. Средняя плотность сплава вычисляется по формуле \(\rho = \frac{m_1 + m_2}{\frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2}}\). Найдите массу \(m_1\) (в кг), если известно, что \(m_2 = 1\) кг, а средняя плотность сплава равна \(2{,}4\) кг/л.

Луч света переходит из воздуха в жидкость. Угол \(\alpha\) падения луча и угол \(\beta\) преломления связаны формулой \(\frac{n_1}{n_2} = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}\), где \(n_1 = 1\) — показатель преломления воздуха, \(n_2\) — показатель преломления жидкости. Найдите угол \(\beta\) преломления, если \(\alpha = 60^\circ\), а \(n_2 = \sqrt{1{,}5}\). Ответ дайте в градусах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0\) — начальная масса изотопа (в мг), \(t\) — время, прошедшее от начального момента (в минутах), \(T\) — период полураспада (в минутах). В начальный момент времени масса изотопа составляла 640 мг. Период его полураспада равен 8 минутам. Определите, через сколько минут масса изотопа уменьшится до 20 мг.

Мяч бросили под острым углом \(\alpha\) к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле \(t = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}\). При каком значении угла \(\alpha\) (в градусах) время полёта составит 3 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью \(v_0 = 30\) м/с? Считайте, что ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон \(pV^k = 1{,}3122 \cdot 10^7\) Па\(\cdot\)м\(^4\), где \(p\) — давление в газе в паскалях, \(V\) — объём газа в кубических метрах, \(k = \frac{4}{3}\). Найдите, какой объём \(V\) (в куб. м) будет занимать газ при давлении \(p\), равном \(1{,}25 \cdot 10^6\) Па.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0\) — начальная масса изотопа, \(t\) — время, прошедшее от начального момента, \(T\) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 192 мг. Период его полураспада составляет 10 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 6 мг.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время \(t\) падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле \(h = 5t^2\), где \(h\) — расстояние в метрах, \(t\) — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,3 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ дайте в метрах.

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью \(v = 3{,}6\) м/с под острым углом \(\alpha\) к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью \(u = \frac{m}{m + M} v \cos \alpha\) (м/с), где \(m = 75\) кг — масса скейтбордиста со скейтом, а \(M = 375\) кг — масса платформы. Под каким максимальным углом \(\alpha\) (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,3 м/с?

Два тела массой \(m = 10\) кг каждое движутся с одинаковой скоростью \(v = 8\) м/с под углом \(2\alpha\) друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле \(Q = mv^2 \sin^2 \alpha\), где \(m\) — масса в килограммах, \(v\) — скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом \(2\alpha\) (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее 480 джоулей.

Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине. Его скорость \(v\) меняется по закону
\[v = v_0 \sin \frac{2\pi t}{T},\] где \(t\) — время с момента начала колебаний, \(T = 6\) с — период колебаний, \(v_0 = 0{,}8\) м/с. Кинетическая энергия \(E\) (в джоулях) груза вычисляется по формуле
\[E = \frac{mv^2}{2},\] где \(m\) — масса груза в килограммах, \(v\) — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 5 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.