Задания ЕГЭ по математике: Задачи с прикладным содержанием

Автомобиль, масса которого равна \(m = 2160\) кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение \(t\) секунд остаётся неизменным, и проходит за это время путь \(S = 500\) метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно \(F = \frac{2mS}{t^2}\). Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдёт указанный путь, если известно, что сила \(F\), приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н. Ответ выразите в секундах.

На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. Введём систему координат: ось \(Oy\) направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось \(Ox\) направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, задаётся формулой \(y = 0{,}005x^2 - 0{,}74x + 25\), где \(x\) и \(y\) измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 30 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону \(v(t) = 6 \sin \frac{\pi t}{3}\) (см/с), где \(t\) — время в секундах. Какую долю времени (в секундах) из первых 3 секунд скорость движения превышала 3 см/с?

Плоский замкнутый контур площадью \(S = 0,5\) м\(^2\) находится в магнитном поле. ЭДС индукции (в вольтах) определяется формулой \(\varepsilon_i = aS \cos \alpha\), где \(\alpha\) — острый угол между полем и перпендикуляром к контуру, \(a = 2 \cdot 10^{-4}\) Тл/с — постоянная. При каком минимальном угле \(\alpha\) (в градусах) ЭДС не будет превышать \(5 \cdot 10^{-5}\) В?

Катер должен пересечь реку шириной \(L = 200\) м и со скоростью течения \(u = 1\) м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Время в пути (в секундах) определяется выражением \(t = \frac{L}{u} \text{ctg} \alpha\), где \(\alpha\) — острый угол между направлением движения катера и берегом. Под каким минимальным углом \(\alpha\) (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону \(U = U_0 \cos(\omega t + \varphi)\), где \(t\) — время в секундах, амплитуда \(U_0 = 4\) В, частота \(\omega = 120^\circ/\text{с}\), фаза \(\varphi = -30^\circ\). Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 2 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Плоский замкнутый контур площадью \(S = 0,4\) м\(^2\) находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой \(\varepsilon_i = aS \cos \alpha\), где \(\alpha\) — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, \(a = 5 \cdot 10^{-4}\) Тл/с — постоянная, \(S\) — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м\(^2\)). При каком минимальном угле \(\alpha\) (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать \(10^{-4}\) В?

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону \(v(t) = 4 \sin \pi t\) (см/с), где \(t\) — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала \(2\) см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Груз массой 0,02 кг колеблется на пружине. Его скорость \(v\) меняется по закону \(v = v_0 \sin \frac{2\pi t}{T}\), где \(t\) — время с момента начала колебаний, \(T = 8\) с — период колебаний, \(v_0 = 0,6\) м/с. Кинетическая энергия \(E\) (в джоулях) груза вычисляется по формуле \(E = \frac{mv^2}{2}\), где \(m\) — масса груза в килограммах, \(v\) — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Катер должен пересечь реку шириной \(L = 150\) м и со скоростью течения \(u = 0,5\) м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением \(t = \frac{L}{u} \text{ctg} \alpha\), где \(\alpha\) — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом \(\alpha\) (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 300 с?

Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку (в Н\(\cdot\)м), определяется формулой \(M = NIBl^2 \sin \alpha\), где \(I = 4\) А — сила тока в рамке, \(B = 2 \cdot 10^{-3}\) Тл — значение индукции магнитного поля, \(l = 0,4\) м — размер рамки, \(N = 2500\) — число витков провода в рамке, \(\alpha\) — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла \(\alpha\) (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент \(M\) был не меньше 1,6 Н\(\cdot\)м?

Мяч бросили под углом \(\alpha\) к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле \(t = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}\). При каком наименьшем значении угла \(\alpha\) (в градусах) время полета будет не меньше 4 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью \(v_0 = 40\) м/с? Считайте, что ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полета камня описывается формулой \(y = ax^2 + bx\), где \(a = -\frac{1}{100}\) м\(^{-1}\), \(b = 1\) — постоянные параметры, \(x\) — смещение камня по горизонтали (в метрах), \(y\) — высота камня над землей (в метрах). На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 7 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее двух метров?

При температуре 0°C рельс имеет длину \(l_0 = 10\) м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону \(l(t^{\circ}) = l_0(1 + \alpha \cdot t^{\circ})\), где \(\alpha = 1,2 \cdot 10^{-5} (^{\circ}\text{C})^{-1}\) — коэффициент теплового расширения, \(t^{\circ}\) — температура в градусах Цельсия. При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время \(t\) падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле \(h = 5t^2\), где \(h\) — расстояние в метрах, \(t\) — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,8 с. На сколько метров должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,4 с? Ответ выразите в метрах.