Задания ЕГЭ по математике: Задачи, сводящиеся к решению неравенств

Автомобиль, масса которого равна \(m = 2160\) кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение \(t\) секунд остаётся неизменным, и проходит за это время путь \(S = 500\) метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно \(F = \frac{2mS}{t^2}\). Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдёт указанный путь, если известно, что сила \(F\), приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н. Ответ выразите в секундах.

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону \(v(t) = 6 \sin \frac{\pi t}{3}\) (см/с), где \(t\) — время в секундах. Какую долю времени (в секундах) из первых 3 секунд скорость движения превышала 3 см/с?

Плоский замкнутый контур площадью \(S = 0,5\) м\(^2\) находится в магнитном поле. ЭДС индукции (в вольтах) определяется формулой \(\varepsilon_i = aS \cos \alpha\), где \(\alpha\) — острый угол между полем и перпендикуляром к контуру, \(a = 2 \cdot 10^{-4}\) Тл/с — постоянная. При каком минимальном угле \(\alpha\) (в градусах) ЭДС не будет превышать \(5 \cdot 10^{-5}\) В?

Катер должен пересечь реку шириной \(L = 200\) м и со скоростью течения \(u = 1\) м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Время в пути (в секундах) определяется выражением \(t = \frac{L}{u} \text{ctg} \alpha\), где \(\alpha\) — острый угол между направлением движения катера и берегом. Под каким минимальным углом \(\alpha\) (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону \(U = U_0 \cos(\omega t + \varphi)\), где \(t\) — время в секундах, амплитуда \(U_0 = 4\) В, частота \(\omega = 120^\circ/\text{с}\), фаза \(\varphi = -30^\circ\). Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 2 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Плоский замкнутый контур площадью \(S = 0,4\) м\(^2\) находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой \(\varepsilon_i = aS \cos \alpha\), где \(\alpha\) — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, \(a = 5 \cdot 10^{-4}\) Тл/с — постоянная, \(S\) — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м\(^2\)). При каком минимальном угле \(\alpha\) (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать \(10^{-4}\) В?

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону \(v(t) = 4 \sin \pi t\) (см/с), где \(t\) — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала \(2\) см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Груз массой 0,02 кг колеблется на пружине. Его скорость \(v\) меняется по закону \(v = v_0 \sin \frac{2\pi t}{T}\), где \(t\) — время с момента начала колебаний, \(T = 8\) с — период колебаний, \(v_0 = 0,6\) м/с. Кинетическая энергия \(E\) (в джоулях) груза вычисляется по формуле \(E = \frac{mv^2}{2}\), где \(m\) — масса груза в килограммах, \(v\) — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Катер должен пересечь реку шириной \(L = 150\) м и со скоростью течения \(u = 0,5\) м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением \(t = \frac{L}{u} \text{ctg} \alpha\), где \(\alpha\) — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом \(\alpha\) (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 300 с?

Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку (в Н\(\cdot\)м), определяется формулой \(M = NIBl^2 \sin \alpha\), где \(I = 4\) А — сила тока в рамке, \(B = 2 \cdot 10^{-3}\) Тл — значение индукции магнитного поля, \(l = 0,4\) м — размер рамки, \(N = 2500\) — число витков провода в рамке, \(\alpha\) — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла \(\alpha\) (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент \(M\) был не меньше 1,6 Н\(\cdot\)м?

Мяч бросили под углом \(\alpha\) к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле \(t = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}\). При каком наименьшем значении угла \(\alpha\) (в градусах) время полета будет не меньше 4 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью \(v_0 = 40\) м/с? Считайте, что ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).

Для получения четкого изображения предмета используется линза с фокусным расстоянием \(f = 24\) см. Расстояние от предмета до линзы \(d_1\) может быть от 30 до 60 см, а расстояние от линзы до экрана \(d_2\) — от 50 до 120 см. Изображение будет четким, если выполняется соотношение \(\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}\). Найдите наименьшее расстояние от линзы до предмета, при котором изображение будет четким. Ответ дайте в сантиметрах.

Высота мяча над землей меняется по закону \(h(t) = 2 + 12t - 5t^2\), где \(h\) — высота в метрах, \(t\) — время в секундах. Сколько секунд мяч находился на высоте не менее 9 метров?

Температура \(T\) (в Кельвинах) прибора меняется по закону \(T(t) = T_0 + bt + at^2\), где \(t\) — время в минутах, \(T_0 = 1500\) К, \(a = -5\) К/мин\(^2\), \(b = 90\) К/мин. Если температура превысит 1900 К, прибор сгорит. Определите, через сколько минут после включения нужно выключить прибор.

Зависимость температуры нагревательного элемента (в Кельвинах) от времени работы (в минутах) задается формулой \(T(t) = T_0 + bt + at^2\), где \(T_0 = 1200\) К, \(a = -10\) К/мин\(^2\), \(b = 140\) К/мин. Прибор может выйти из строя, если температура превысит 1600 К. Найдите наибольшее время (в минутах) после начала работы, через которое нужно выключить прибор.