Задания ЕГЭ по математике: Угол между плоскостями
В правильной четырехугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сторона основания \(AB\) равна \(2\sqrt{3}\), а боковое ребро \(AA_1\) равно \(3\). На ребрах \(A_1D_1\) и \(DD_1\) отмечены соответственно точки \(K\) и \(M\) так, что \(A_1K=KD_1\), \(DM:MD_1=2:1\).
а) Докажите, что прямые \(MK\) и \(BK\) перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями \((BMK)\) и \((BCC_1)\).
Найдите двугранный угол при ребре основания правильной треугольной пирамиды, если угол между ее боковыми ребрами равен \(\phi\).
Докажите теорему косинусов для двугранного угла:
Двугранный угол между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\), пересекающимися по прямой \(l\), равен \(\phi\). \(A \in \alpha\), \(B \in \beta\), \(AA_1 \perp l\), \(BB_1 \perp l\) Тогда верно равенство
Докажите теорему косинусов для трехгранного угла:
Косинус плоского угла \(\phi\) трехгранного угла равен произведению косинусов двух других плоских углов \(\alpha\) и \(\beta\) трехгранного угла, сложенному с произведением синусов этих углов на косинус двугранного угла \(\phi_{дв.}\) при противолежащем ему ребре.
Дана четырёхугольная пирамида \(SABCD\), в основании которой лежит прямоугольник \(ABCD\). Основанием высоты пирамиды является точка пересечения диагоналей основания. Известно, что \(AB = 2\sqrt{3}, BC = 2\sqrt{6}\). Из точек \(A\) и \(C\) опущены перпендикуляры \(AP\) и \(CQ\) на ребро \(SB\).
а) Докажите, что \(P\) — середина \(BQ\).
б) Найдите угол между гранями \(SBA\) и \(SBC\), если \(AS = 6\).
В треугольной пирамиде \(SABC\) точка \(E\) — середина ребра \(SA\), точка \(F\) — середина ребра \(SB\), \(O\) — точка пересечения медиан в \(\triangle ABC\).
а) Докажите, что плоскость \((CEF)\) делит отрезок \(SO\) в отношении \(3:2\), считая от точки \(S\).
б) Найдите косинус угла между плоскостями \((CEF)\) и \((EHF)\), если \(H\) — середина ребра \(SC\), пирамида \(SABC\) — правильная, \(S_{\triangle ABC}=27\sqrt3\), \(SB=10\).
В правильной четырехугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сторона основания \(AB=3\), а боковое ребро \(AA_1=\sqrt3\). На ребрах \(C_1D_1\) и \(DD_1\) отмечены точки \(K\) и \(M\) соответственно так, что \(D_1K=KC_1\), а \(DM:MD_1=1:3\).
а) Докажите, что прямые \(MK\) и \(BK\) перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями \((BMK)\) и \((ABB_1)\).
Основанием пирамиды \(SABCD\) является равнобедренная трапеция \(ABCD\), в которой \(AB = BC = a\), \(AD = 2a\). Плоскости граней \(SAB\) и \(SCD\) перпендикулярны плоскости основания пирамиды. Найдите высоту пирамиды, если высота грани \(SAD\), проведенная из вершины \(S\), равна \(2a\).
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между плоскостями \((A_1BD)\) и \((C_1BD)\).
\(SABC\) – треугольная пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник \(ABC\) со сторонами \(10\), \(10\) и \(10\sqrt3\). Высота пирамиды равна \(10\) и падает в точку пересечения высот основания. Найдите угол между двумя равными гранями пирамиды.
Дан правильный тетраэдр \(SABC\), \(H\) — такая точка на высоте \(SO\), что \(OH : HS = 1 : 3\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(A\) и \(H\) параллельно медиане \(BM\) треугольника \(ABC\) и пересекает ребро \(CS\) в точке \(P\).
а) Докажите, что \(CP : PS = 2 : 3\).
б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \((ABC)\).
Дана правильная четырехугольная призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), сторона основания которой равна \(4\), а боковые ребра равны \(5\). Точки \(M\) и \(N\) — середины отрезков \(A_1B_1\) и \(B_1C_1\) соответственно. Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(D\), \(M\) и \(N\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) делит ребро \(AA_1\) призмы в отношении 2 : 1, считая от точки \(A\).
б) Найдите угол между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью \((ABC)\).
Дана правильная четырехугольная пирамида \(KMNPQ\) со стороной 6 основания \(MNPQ\) и боковым ребром \(3\sqrt{26}\).
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую \(NF\) параллельно диагонали \(MP\), если точка \(F\) – середина ребра \(MK\).
б) Найдите величину угла между плоскостью сечения и плоскостью \(KMP\).
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – правильная призма, \(M\) и \(N\) – середины ребер \(AB\) и \(BC\) соответственно. Точка \(K\) –середина \(MN\).
а) Докажите, что \(KD_1\perp MN\).
б) \(AB=8,AA_1=6\sqrt2\). Найдите угол между плоскостями \(MND_1\) и \(ABC\).
