Задания ЕГЭ по математике: Расстояние от точки до прямой

На ребре \(AS\) правильной пирамиды \(SABC\) объемом \(V\) взята такая точка \(D\), что \(SD:DA=m:n\). Расстояние от центра основания \(ABC\) до плоскости \(BCD\) равно \(d\). Найдите площадь треугольника \(BCD\).

В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) известны рёбра: AB \(=4\sqrt2\), \(AA_1\)  =  4. Точка M  — середина ребра BC.

а)  Докажите, что прямые \(B_1C \ и \ C_1M\) перпендикулярны.

б)  Найдите угол между прямой \(C_1M\) и плоскостью грани \(ABB_1A_1\).

​​В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A,B,C\), ​а на окружности другого основания — точка \(C_1\),​причём \(CC_1\) – ​образующая цилиндра, а \(AC\) – ​диаметр основания. Известно, что \(\angle ACB=45°, AB=3\sqrt2, CC_1=6\).​

а) Докажите, что угол между прямыми ​\(AC_1\) ​и \(BC\) ​равен​ 60°.​

б) Найдите расстояние от точки​ \(B\) ​до \(AC_1\).​

В правильной треугольной пирамиде​ \(SABC\) ​с вершиной \(S\), ​все рёбра которой равны 4, точка \(N\) –​середина ребра​ \(AC\), ​точка​ \(O\) – ​центр основания пирамиды, точка \(P\) ​делит отрезок \(SO\) ​в отношении \(3:1\), считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что​ \(NP\perp BS\).​

б) Найдите расстояние от точки \(B\) ​до прямой \(NP\).​