Задания ЕГЭ по математике: Окружности и треугольники, разные задачи

Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности. 

а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB. 

б) Найдите длину отрезка NO, если известно, что AC = 10 и AB = 24.

Окружность проходит через вершины \(B\) и \(C\) прямоугольного треугольника \(ABC\) и пересекает катет \(AC\) в точке \(K\), гипотенузу \(AB\) — в точке \(M\).
а) Докажите, что треугольники \(AKM\) и \(ABC\) подобны.
б) Найдите площадь четырёхугольника \(CKMB\), если радиус окружности равен \(2\sqrt{10}\), катеты \(AC\) и \(BC\) равны \(16\) и \(4\) соответственно.

Дан равнобедренный треугольник \(ABC\). Окружность с центром \(O\) на основании \(BC\) касается боковых сторон \(AB\) и \(AC\). Касательная к этой окружности пересекает стороны \(AB\) и \(AC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно.
а) Докажите, что отрезки \(OM\) и \(ON\) разбивают четырёхугольник \(BMNC\) на три подобных треугольника.
б) Найдите длину отрезка \(AM\), если треугольник \(ABC\) равносторонний, \(AB=20\) и \(AN:NC=2:3\).

Дан треугольник \(ABC\). На его стороне \(AC\) как на диаметре построена окружность, которая пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно. Известно, что \(M\) — середина \(AB\), а \(H\) — точка пересечения высот треугольника \(ABC\).
а) Докажите, что \(KH:HA=\cos\angle BCA\).
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник \(AHC\), если \(AK=9\), \(\cos\angle BCA=0{,}8\).

\(\text{Точка O — центр описанной окружности около остроугольного треугольника ABC.  На луче AO за точкой O выбрана точка P так, что } \angle BAC + \angle APC = 90^\circ.\)

\(\textbf{а)} \text{Докажите, что } \angle OBC = \angle OPC.\)

\(\textbf{б)} \text{Найдите радиус окружности, описанной около треугольника OPC, если } BC = 24, \; \cos \angle BAC = \tfrac{3}{5}.\)